Aprende a medir el área de formas irregulares

La geometría es una ciencia compleja y más si de calcular el área de figuras irregulares se trata. Sin embargo, poseemos una fórmula para hacer estas operaciones que resulta más precisa que cualquier adelanto informático aunque tiene dos mil años de antigüedad: su creador fue Herón de Alejandría.

La geometría ha constituido una verdadera pesadilla para generaciones y generaciones de estudiantes. Aprender las innumerables fórmulas para calcular el área de distintas figuras, los teoremas y los demás aspectos que conforman esta disciplina matemática eran y continúan siendo una batalla diaria para los colegiales.

Y si las fórmulas de las figuras regulares eran complicadas de retener, la cosa se ponía realmente ardua cuando de figuras irregulares se trataba. Y es que, para calcular el área de estas últimas no existe aquel recurso –no valen fórmulas- sino que hay que trazar líneas y convertirlas en regulares para luego aplicar las conocidas para éstos.

Foto de un relieve griego

Herón vivió en el siglo de Pericles. En la foto, un relieve griego

Todo ello por no hablar de su aplicación práctica, puesto que, si sobre un papel es complicado, pensemos lo que puede ser calcular el área de un terreno montañoso e irregular. Es cierto que hoy contamos con herramientas informáticas que nos ayudan como las de Google maps. Sin embargo, éstas presentan un problema: no tienen en cuenta las oscilaciones de altura y por ello sus mediciones no son exactas. De hecho, según la experiencia de los profesionales, la variación puede llegar hasta la cantidad del veinte por ciento, lo cual no es poco si de medir una finca para su venta se trata.

No obstante, lo que decíamos –que no existe una fórmula para medirlos- no es del todo cierto. Si existe una y no es precisamente moderna sino que tiene unos dos mil años. Su autor fue un sabio de la Antigüedad llamado Herón de Alejandría (10-70 después de Cristo). Entre sus principales trabajos se encuentran la primera y rudimentaria máquina de vapor -conocida como eolípila y que era un rudimentario aparato térmico que servía para soldar-, la llamada fuente de Herón, un no menos arcaico artefacto hidráulico, o una primera formulación de la newtoniana ley de acción y reacción. Por si todo ello fuera poco, a él corresponde la generalización del uso de la famosa palanca de Arquímedes.

Pero lo que aquí nos interesa son sus trabajos sobre geometría y, en concreto, su obra titulada La métrica, donde estudia el volumen de diferentes cuerpos y desarrolla y demuestra la llamada Fórmula de Heron que sirve, precisamente, para calcular el área de figuras irregulares. Hasta que punto el griego era original o había tomado sus conocimientos de los antiguos babilonios o egipcios nunca lo sabremos. Pero el hecho es que nos brindó un utilísimo instrumento para resolver estas cuestiones geométricas.

La Fórmula de Herón, no obstante, presenta un pequeño problema: para lo que realmente es útil es para medir el área de triángulos irregulares. Sin embargo, si de otras formas se trata, tampoco debemos alarmarnos, ya que la solución es simple: se reducen éstas a triángulos y posteriormente se aplica a cada una la fórmula del griego, sumando los resultados. Por tanto, la complicación es mínima.

El enunciado de la ya a estas alturas conocida fórmula es el siguiente: conocidos los lados de un triángulo irregular, su área será igual a la raíz cuadrada de la siguiente multiplicación: el semiperímetro de la figura por la diferencia del propio semiperímetro menos un lado, por la diferencia entre el semiperímetro y otro lado y, como no, por la diferencia entre el semiperímetro y el tercer lado. Indudablemente, esto puede sonarnos a chino. Por ello, resumiremos la fórmula.

Foto de una finca o terreno

La fórmula de Heron es útil, por ejemplo, para medir terrenos irregulares

Dado un triángulo, nombraremos al área como A, a sus lados como a, b y c y al semiperímetro como s. De este modo, la fórmula sería así:

A=  s x (s-a) x (s-b) x (s-c)

Y al resultado obtenido debemos calcularle la raíz cuadrada. El semiperímetro se halla sumando los tres lados del triángulo y dividiendo el resultado por dos, es decir:

S= a + b + c / 2

Como resulta complejo expresarlo en palabras, lo mejor será ver un ejemplo: tenemos un triángulo cuyo lado a mide 5 centímetros, el b, 7 centímetros, y el c, 4 centímetros. Lo primero que debemos hacer es calcular el semiperímetro:

S= a + b + c / 2 = 5 + 7 + 4 / 2 = 16 / 2 = 8 centímetros tiene el semiperímetro.

A continuación, en segundo lugar, se resta el citado semiperímetro de cada uno de los lados:

s – a = 8 – 5 = 3 centímetros.

s – b = 8 – 7 = 1 centímetros.

s – c = 8 – 4 =  4 centímetros.

El tercer paso y último es aplicar la fórmula, es decir:
A = s x (s-a) x (s-b) x (s-c) = 16 x 3 x 1 x 4 =  192 del que debemos hallar su raíz cuadrada, que es 13,86. Por tanto, A = 13,86 centímetros. Este sería el área de nuestro triángulo.

Como vemos, se trata de una serie de operaciones sencillas. Si sabemos aplicar la fórmula a un triángulo irregular –como decíamos-, para calcular el área de una figura más compleja, sólo tenemos que dar un paso previo a la aplicación de ésta: reducir el interior de esa forma a triángulos uniendo sus vértices, es decir, los puntos de origen de sus ángulos.

A continuación calcularemos, siguiendo a Herón, las áreas de cada uno de éstos y, por último, sumaremos los resultados. Con ello ya tendremos el área de la figura.

Foto de una figura irregular

División de una figura irregular para aplicarle la fórmula de Herón

La fórmula del griego, como decíamos, resulta muy útil para medir fincas irregulares. En cuanto a los accidentes del terreno –elevaciones o depresiones-, para evitar desajustes, lo mejor es medir sus lados tendiendo una línea o cadena a todo lo largo. Si no disponemos de este material, un sistema sencillo aunque menos exacto es recorrer el lado con paso largo, contando éstos e interpretando cada uno de ellos como un metro. El resultado no será tan preciso pero tampoco la diferencia será tan grande.

Como vemos, una fórmula creada hace dos mil años posee hoy día la misma utilidad que entonces e incluso resulta más precisa que los más modernos adelantos informáticos. Para que luego digan algunos –muy modernos ellos- que el conocimiento de la Antigüedad no puede aportarnos nada. Precisamente todo el saber actual procede de las bases que sentaron aquellos sabios que carecían de los medios con que contamos en la actualidad. Sin ello, poco habríamos adelantado depués.

Fuente: Instructables.

Fotos: Relieve griego: Arquera en Flickr | Terreno: Limetree en Wikimedia | Figura irregular: Rovnet en Wikimedia.

Ya hay 2 comentarios. ¿Quieres dejar el tuyo?

  • Eugenio
    20 mar 2011

    Que bueno! Herón estuvo, está y estará vigente para ayudarnos a resolver nuestras inquietudes cotidianas.
    Gracias amigos de Qdiario, se pasaron.

  • Marco Antonio
    18 jul 2012

    Muy buen dato, nada mas que el semiperimetro seria 8 y no 16 parece que hay un error en el tercer paso.

    Saludos.

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